# 幻方中心数

## 题目

证明三阶幻方中心的数是行和的 $\frac 1 3$.

## 证明

考虑一个三阶幻方：

$$
\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{|c:c:c|}
\hline a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
\hdashline a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
\hdashline a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\hline
\end{array}
$$

设每行、每列及两对角线上的和为 $S$, 也就是：

$$
\begin{split}
S &= a_{11} + a_{12} + a_{13} \\
S &= a_{21} + a_{22} + a_{23} \\
S &= a_{31} + a_{32} + a_{33} \\
S &= a_{11} + a_{21} + a_{31} \\
S &= a_{12} + a_{22} + a_{32} \\
S &= a_{13} + a_{23} + a_{33} \\
S &= a_{11} + a_{22} + a_{33} \\
S &= a_{13} + a_{22} + a_{31}
\end{split}
$$ (ma1)

将 {eq}`ma1` 中的第 1, 3 两式相加，可得：

$$
2S = a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{31} + a_{32} + a_{33}
$$ (ma2)

将 {eq}`ma1` 中的第 7, 8 两式相加，可得：

$$
2S = a_{11} + a_{22} + a_{33} + a_{13} + a_{22} + a_{31}
$$ (ma3)

{eq}`ma2`, {eq}`ma3` 两式相减可得：

$$
a_{12} + a_{32} - 2a_{22} = 0
$$ (ma4)

用 {eq}`ma1` 中的第 5 式减去 {eq}`ma4`, 得：

$$
3a_{22} = S
$$ (ma5)

也就是：

$$
a_{22} = \frac S 3
$$ (ma6)