# 接电话的女孩

## 问题

已知某户人家有两个孩子，某天打电话过去，发现接电话的是一个女孩，那么另一个孩子也是女孩的概率是多大？当然，这里假定男孩女孩出现的概率是相同的，且接电话的概率与孩子的性别没有关系。

## 分析

给两个孩子编号为 $1$, $2$, 他们是男孩女孩的概率可分别记为 $P(1_男)$, $P(1_女)$, $P(2_男)$, $P(2_女)$, 于是有：

$$
P(1_男) = P(1_女) = P(2_男) = P(2_女) = 1/2
$$ (gi1)

哪个孩子接电话也是随机的，可认为各有 $\frac 1 2$ 的概率。当然，更一般化的假定是孩子 $1$ 接电话的概率为 $p$, 于是孩子 $2$ 接电话的概率为 $1 - p$, 分别设为 $P(1_接)$, $P(2_接)$, 也就是：

$$
\begin{split}
P(1_接) &= p \\
P(2_接) &= 1 - p
\end{split}
$$ (gi2)

接电话的是女孩的概率（记为 $P(女_接)$）为：

$$
\begin{split}
P(女_接) &= P(1_接1_女) + P(2_接2_女) \\
       &= P(1_接)P(1_女) + P(2_接)P(2_女) \\
       &= {\frac 1 2}p + {\frac 1 2}(1 - p) \\
       &= \frac 1 2
\end{split}
$$ (gi3)

而两个孩子都是女孩的概率为：

$$
P(1_女2_女) = P(1_女)P(2_女) = \frac 1 4
$$ (gi4)

因此在已知接电话的孩子是女孩的情况下，另一个孩子也是女孩的概率为：

$$
\begin{split}
P(1_女2_女|女_接) &= P(1_女2_女女_接)/P(女_接) \\
              &= P(1_女2_女)/P(女_接) \\
              &= \frac 1 2
\end{split}
$$ (gi5)

也就是说，已知一个孩子的性别，对另外一个孩子的性别提供的信息量为 $0$, 这显然是符合常理的。

这里有一个常见误区：已知一个孩子性别为女，则孩子的性别组合只能是“男女”、“女男”、“女女”，这三种情况是等概率的，那么两个孩子都是女孩的概率岂不是 $\frac 1 3$? 问题在于：这三种情况下，女孩接电话的概率是不同的，“女女”的情况下，女孩接电话的概率最大。因此，已知是女孩接电话，当然“女女”这一组合的可能性比其他两种大。