# 酒鬼在哪里

## 问题

已知一酒鬼每天外出喝酒的概率是 $90\%$. 当他外出喝酒时以相等的概率光顾 $A$, $B$, $C$ 三家酒吧。某日，警察在 $A$, $B$ 酒吧都没有找到酒鬼，那么在 $C$ 酒吧找到酒鬼的概率是多少？

## 分析

为叙述方便，分别用 $P(A)$, $P(B)$, $P(C)$ 表示酒鬼在 $A$, $B$, $C$ 酒吧喝酒的概率，用 $P(H)$ 表示酒鬼在家没有外出喝酒的概率，而酒鬼不在某地的概率则分别用 $P(\bar{A})$, $P(\bar{B})$, $P(\bar{C})$, $P(\bar{H})$ 表示，按题意有：

$$
\begin{split}
P(A) = P(B) = P(C) \\
P(\bar{H}) = 90\% \\
P(A) + P(B) + P(C) + P(H) = 100\%
\end{split}
$$ (wh1)

很容易算出以下概率：

$$
\begin{split}
P(A) = P(B) = P(C) = \frac {P(\bar{H})} 3 &= 30\% \\
                    P(H) = 1 - P(\bar{H}) &= 10\% \\
                    P(\bar{A}) = 1 - P(A) &= 70\% \\
                    P(\bar{B}) = 1 - P(B) &= 70\% \\
                    P(\bar{C}) = 1 - P(C) &= 70\%
\end{split}
$$ (wh2)

在酒吧 $A$, $B$ 都没有找到酒鬼的概率是：

$$
P(\bar{A}\bar{B}) = 1 - P(A) - P(B) = 40\%
$$ (wh3)

注意 $P(\bar{A}\bar{B})$ 并不等于 $P(\bar{A})P(\bar{B})$, 因为酒鬼在不在酒吧 $A$ 与在不在酒吧 $B$ 并不是独立事件。如果来个完整的推导那就是：

$$
\begin{split}
P(\bar{A}\bar{B}) &= P(\bar{A})P(\bar{B}/\bar{A}) \\
                  &= P(\bar{A})(1 - P(B|\bar{A})) \\
                  &= P(\bar{A})(1 - {\frac {P(B\bar{A})} {P(\bar{A})}}) \\
                  &= P(\bar{A}) - P(B)P(\bar{A}|B) \\
                  &= 1 - P(A) - P(B)
\end{split}
$$ (wh4)

这种情况下，酒鬼在酒吧 $C$ 的概率：

$$
\begin{split}
P(C|\bar{A}\bar{B}) &= \frac {P(C\bar{A}\bar{B})} {P(\bar{A}\bar{B})} \\
                    &= \frac {P(C)} {P(\bar{A}\bar{B})} \\
                    &= \frac {30\%} {40\%} \\
                    &= 75\%
\end{split}
$$ (wh5)

这里为什么 $P(C\bar{A}\bar{B}) = P(C)$? 因为 $P(\bar{A}\bar{B}|C) = 1$.

常见的一个误区：既然酒鬼外出喝酒的概率是 $90\%$, 现已排除了他在酒吧 $A$ 和 $B$, 那岂不是这 $90\%$ 的概率全落在酒吧 $C$ 上了？这里的问题是：在排除了酒鬼在酒吧 $A$ 和 $B$ 喝酒以后，他今天外出喝酒的概率还是 $90\%$ 吗？