5. 飞机加油问题

5.1. 题目

每个飞机有一个油箱，飞机之间可以相互加油，一箱油可供一架飞机绕地球飞半圈。为使至少一架飞机绕地球一圈回到起飞时的飞机场，至少需要出动几架次飞机？（要求所有飞机从同一机场起飞，而且必须安全返回机场，不允许中途降落。）

5.2. 分析

我们将这个问题一般化。为了简单，我们用飞机一箱油能够飞出的距离作为长度单位。

设有 \(n\) 架飞机在距离起点 \(y\) 远的地方全部满油，这些飞机飞出 \(x\) 米之后，其中 \(m\) 架给剩下的 \(n - m\) 架飞机加满油然后返回起点。返回的 \(m\) 架飞机能够匀出的油量是 \(m(1 - y - 2x)\), 继续前进的 \(n - m\) 架飞机需要的油量是 \((n - m)x\), 于是就有：

(1)\[ m(1 - y - 2x) = (n - m)x \]

可得：

(2)\[ x = \frac {m(1 - y)} {n + m} \]

如果我们让这 \(m\) 架飞机一架一架的返回，剩下的飞机可以飞更远的距离。让我们来计算一下，用 \(x_k\) 表示第 \(k\) 架飞机返回时比第 \(k - 1\) 架飞机返回时多飞出的距离，用 \(y_k\) 表示第 \(k\) 架飞机与剩余的其他飞机都满油时离开起点的距离，也就是第 \(k - 1\) 架飞机返回时离开起点的距离。

当第一架飞机返回时：

(3)\[ x_1 = \frac {1 - y_0} {n + 1} \]

第二架返回时：

(4)\[\begin{split} \begin{split} x_2 &= \frac {1 - y_1} {(n - 1) + 1} \\ &= \frac {1 - (y_0 + x_1)} n \\ &= \frac {1 - (y_0 + \frac {1 - y_0} {n + 1})} n \\ &= \frac {1 - y_0} {n + 1} \end{split} \end{split}\]

观察公式 (3) 与 (4), 可发现 \(x_2 = x_1\). 不难证明：

(5)\[ \forall k \in [1, m], x_k = \frac {1 - y_0} {n + 1} \]

因此，到 \(m\) 架飞机返回时，飞出的距离：

(6)\[ x_1 + x_2 + \dots + x_m = \frac {m(1 - y_0)} {n + 1} \]

显然，这要比 \(\frac {m(1 - y_0)} {n + m}\) 大。

回到开始的问题，当 \(y_0 = 0\), 也就是从起点出发，并且我们只需保证有一架飞机最后加满油，也就是 \(m = n - 1\), 能够飞出的距离是 \(\frac {n - 1} {n + 1}\). 绕地球一圈的路程是 \(2\), 我们只需让一架飞机在 \(\frac 1 2\) 时加满油，最后 \(\frac 1 2\) 的路程可以另外让飞机去接，接的方法和送的方法完全一样，只是整个过程倒过来而已。显然，\(n = 3\) 即可满足条件。

5.3. 答案

\(5\) 架飞机。