10. 贷款公式计算

10.1. 等额本息还款法

等额本息还款法的特点是每期还款额（包含本期产生的利息和一部分本金）是相同的。

设贷款总金额为 \(A\), 每期利率为 \(p\), 总期数为 \(n\), 并设 \(A_i\) 为第 \(i\) 期剩余本金，也就是 \(A_1 = A\), \(x_i\) 为第 \(i\) 期还掉的本金数额，则：

(1)\[ A_1p + x_1 = A_2p + x_2 = \cdots = A_kp + x_k \]

而：

(2)\[ A_k = A_{k-1} - x_{k-1} \]

综合 (1), (2), 可得：

(3)\[\begin{split} \begin{split} A_{k-1}p + x_{k-1} &= A_kp + x_k \\ &= (A_{k-1} - x_{k-1})p + x_k \\ &= A_{k-1}p - x_{k-1}p + x_k \end{split} \end{split}\]

于是：

(4)\[ x_k = (1 + p)x_{k-1} \]

进而有：

(5)\[ \forall i \in [2, n], x_i = (1 + p)^{i-1}x_1 \]

所有还掉的本金之和就是贷款总金额，也就是：

(6)\[ \sum_{i = 1}^n x_i = A \]

于是得：

(7)\[ \sum_{i = 1}^n (1 + p)^{i-1} x_1 = \frac {(1 + p)^n - 1} p x_1 = A \]

也就是：

(8)\[ x_1 = \frac p {(1 + p)^n - 1} A \]

由于每期的还款额是相同的，故可以拿第一期来计算，还款额应为第一期还掉的本金加上第一期利息，也就是：

(9)\[ x_1 + Ap = (\frac p {(1 + p)^n - 1} + p)A = \frac {p (1 + p)^n} {(1 + p)^n - 1} A \]

10.2. 等额本金还款法

等额本金还款法的特点是每期还掉的本金是相同的。由于本金逐渐减少，每期产生的利息也随之减少，故每期的还款额也是逐渐减少的。

设贷款总金额为 \(A\), 每期利率为 \(p\), 总期数为 \(n\), 则每期还掉的本金数额为 \(\frac A n\). 设 \(A_i\) 为第 \(i\) 期剩余本金，于是有：

(10)\[ A_i = A - (i - 1) \frac A n \]

第 \(i\) 期产生的利息是第 \(i\) 期的剩余本金乘以每期利率，也就是：

(11)\[ A_{i-1}p = (A - (i - 1) \frac A n)p \]

于是第 \(i\) 期应还款额为：

(12)\[ \frac A n + (A - (i - 1) \frac A n)p = \frac {p(n - i + 1) + 1} n A \]