9. 幻方中心数
9.1. 题目
证明三阶幻方中心的数是行和的 \(\frac 1 3\).
9.2. 证明
考虑一个三阶幻方：
\[\begin{split}
\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{|c:c:c|}
\hline a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
\hdashline a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
\hdashline a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\hline
\end{array}
\end{split}\]
设每行、每列及两对角线上的和为 \(S\), 也就是：
(1)\[\begin{split}
\begin{split}
S &= a_{11} + a_{12} + a_{13} \\
S &= a_{21} + a_{22} + a_{23} \\
S &= a_{31} + a_{32} + a_{33} \\
S &= a_{11} + a_{21} + a_{31} \\
S &= a_{12} + a_{22} + a_{32} \\
S &= a_{13} + a_{23} + a_{33} \\
S &= a_{11} + a_{22} + a_{33} \\
S &= a_{13} + a_{22} + a_{31}
\end{split}
\end{split}\]
将 (1) 中的第 1, 3 两式相加，可得：
(2)\[
2S = a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{31} + a_{32} + a_{33}
\]
将 (1) 中的第 7, 8 两式相加，可得：
(3)\[
2S = a_{11} + a_{22} + a_{33} + a_{13} + a_{22} + a_{31}
\]
(4)\[
a_{12} + a_{32} - 2a_{22} = 0
\]
(5)\[
3a_{22} = S
\]
也就是：
(6)\[
a_{22} = \frac S 3
\]