1.1. 面积问题（一）

1.1.1. 题目

area1

如图所示，一个 \(\triangle ABC\), \(D\) 在 \(BC\) 上，\(E\) 在 \(CA\) 上，\(F\) 在 \(AB\) 上，\(AD\), \(BE\), \(CF\) 交于点 \(O\). 已知 \(\triangle FOA\) 的面积为 \(84\), \(\triangle DOB\) 的面积为 \(40\), \(\triangle COD\) 的面积为 \(30\), \(\triangle EOC\) 的面积为 \(35\), 求 \(\triangle ABC\) 的面积。

1.1.2. 解

设 \(\triangle BOF\) 的面积为 \(x\), \(\triangle AOE\) 的面积为 \(y\).

\(\because \triangle DOB \text{ 与 } \triangle COD \text{ 等高，}\therefore\)

(1)\[ \frac {BD} {DC} = \frac {40} {30} = \frac 4 3 \]

\(\because \triangle ABD \text{ 与 } \triangle ADC \text{ 等高，}\therefore\)

(2)\[ \frac {84 + x + 40} {y + 35 + 30} = \frac {DB} {DC} = \frac 4 3 \]

\(\because \triangle COB \text{ 与 } \triangle EOC \text{ 等高，}\therefore\)

(3)\[ \frac {BO} {OE} = \frac {40 + 30} {35} = 2 \]

\(\because \triangle BOA \text{ 与 } \triangle AOE \text{ 等高，}\therefore\)

(4)\[ \frac {84 + x} y = \frac {BO} {OE} = 2 \]

由 (2), (4) 可解得 \(x = 56\), \(y = 70\).

答案：\(\triangle ABC \text{ 的面积} = 84 + x + 40 + 30 + 35 + y = 315\).

提示：实际上 \(\triangle FOA\) 的面积是不需要的，因为可以将 \(\triangle BOA\) 的面积整体作为一个未知数处理。