1.2. 面积问题（二）
1.2.1. 题目
如图所示，\(E\) 为长方形 \(ABCD\) 外一点，\(BE\), \(CE\) 分别交 \(AD\) 于点 \(F\), \(G\), \(\triangle ABF\), \(\triangle CDG\), \(\triangle EFG\) 面积分别为 \(19\), \(8\), \(12\), 求长方形 \(ABCD\) 面积。
1.2.2. 解
过 \(E\) 作 \(AD\) 的垂线落于点 \(H\).
(1)\[
\triangle ABF \sim \triangle HEF \implies \frac {AF} {AB} = \frac {FH} {EH}
\]
(2)\[
\triangle CDG \sim \triangle EHG \implies \frac {DG} {CD} = \frac {HG} {EH}
\]
(3)\[
\frac {AF} {AB} + \frac {DG} {CD} = \frac {FH} {EH} + \frac {HG} {EH}
\]
也就是：
(4)\[
\frac {AF + DG} {AB} = \frac {FG} {EH}
\]
根据所给面积，有：
(5)\[\begin{split}
\begin{split}
(AF + DG) \cdot {AB} &= (19 + 8) \cdot 2 \\
FG \cdot {EH} &= 12 \cdot 2
\end{split}
\end{split}\]
(6)\[
\frac {(AF + DG)^2} {27} = \frac {FG^2} {12}
\]
可解得：
(7)\[
FG = \frac 2 3 (AF + DG)
\]
于是长方形 \(ABCD\) 面积为：
(8)\[\begin{split}
\begin{split}
(AF + FG + GD) \cdot AB
&= (1 + \frac 2 3)(AF + GD) \cdot AB \\
&= 90
\end{split}
\end{split}\]