1.3. 面积问题（三）

1.3.1. 题目

如图所示是一个长方形 \(ABCD\), \(E\) 为 \(AD\) 上一点，\(F\) 为 \(AB\) 上一点。\(\triangle AEF\), \(\triangle BCF\), \(\triangle CDE\) 的面积分别为 \(3\), \(4\), \(5\). 求 \(\triangle CEF\) 的面积。

1.3.2. 解

用 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) 分别表示线段 \(AE\), \(ED\), \(AF\), \(FB\) 的长度。

由 \(\triangle AEF\) 的面积为 \(3\), 可知：

(1)\[ ac = 6 \]

由 \(\triangle BCF\) 的面积为 \(4\), 可知：

(2)\[ (a + b)d = 8 \]

由 \(\triangle CDE\) 的面积为 \(5\), 可知：

(3)\[ (c + d)b = 10 \]

(2) \(+\) (3), 可得：

(4)\[ ad + bc + 2bd = 18 \]

(2) \(\times\) (3), 可得：

(5)\[ (ac)(bd) + (ad + bc)(bd) + (bd)^2 = 80 \]

将 (4) 两边乘以 \(bd\) 再减去 (5), 可得：

(6)\[ (bd)^2 - (ac)(bd) = 18bd - 80 \]

将 (1) 代入 (6) 并化简后得：

(7)\[ (bd)^2 - 24bd + 80 = 0 \]

解此以 \(bd\) 为元的一元二次方程，可得两个根为 \(20\) 和 \(4\). 但根据 (4), \(bd = 20\) 不合理，只能是 \(bd = 4\), 于是：

(8)\[ ad + bc = 18 - 2bd = 10 \]

现在求长方形 \(ABCD\) 面积，即：

(9)\[\begin{split} \begin{split} (a + b)(c + d) &= ac + ad + bc + bd \\ &= 6 + 10 + 4 \\ &= 20 \end{split} \end{split}\]

于是 \(\triangle CEF\) 面积为 \(20 - 3 - 4 - 5 = 8\).