3.1.2. 分析
为叙述方便，三个门编号为 \(1\), \(2\), \(3\), \(C\) 代表车，\(T\) 代表主持人。\(C_i\) 表示车在 \(i\) 号门，\(T_i\) 则表示主持人打开了 \(i\) 号门。如果车是随意放到各个门后的，则 \(C_1\), \(C_2\), \(C_3\) 的概率各为 \(\frac 1 3\), 记为：
(1)\[
P(C_1) = P(C_2) = P(C_3) = \frac 1 3
\]
观众选 \(1\), \(2\), \(3\) 的情况可以作相同的分析。不妨设观众选择门 \(1\), 随后可以分两种情况分析。
在主持人事先知道车在哪个门后而故意选择没车的门的情况下：
(2)\[\begin{split}
\begin{split}
P(T_3|C_2) = P(T_2|C_3) &= 1 \\
P(T_2|C_2) = P(T_3|C_3) &= 0 \\
P(T_2|C_1) = P(T_3|C_1) &= \frac 1 2
\end{split}
\end{split}\]
(2) 中第 3 式成立是因为我们假定如果车在门 \(1\), 主持人以相等的概率选择门 \(2\) 或 \(3\).
于是可得：
(3)\[\begin{split}
\begin{split}
P(T_2C_3) = P(T_2|C_3) P(C_3) &= \frac 1 3 \\
P(T_3C_2) = P(T_3|C_2) P(C_2) &= \frac 1 3 \\
P(T_2C_1) = P(T_2|C_1) P(C_1) &= \frac 1 6 \\
P(T_3C_1) = P(T_3|C_1) P(C_1) &= \frac 1 6
\end{split}
\end{split}\]
首先求主持人打开的门后没有车的概率，记为 \(P(N)\)：
(4)\[
P(N) = P(T_2C_1) + P(T_2C_3) + P(T_3C_1) + P(T_3C_2) = 1
\]
从前提来看也显然应该是 \(1\), 于是在此事件已发生的前提下，另一个门有车的概率为：
(5)\[
\frac {P(T_3C_2) + P(T_2C_3)} {P(N)} = \frac 2 3
\]
而此前提下 \(C_1\) 的概率：
(6)\[
\frac {P(T_3C_1) + P(T_2C_1)} {P(N)} = \frac 1 3
\]
所以换了得到车的概率将是不换时的两倍。
在主持人随便打开剩下的一个门的情况下：
(7)\[\begin{split}
\begin{split}
P(T_2|C_1) = P(T_3|C_1) &= \frac 1 2 \\
P(T_2|C_2) = P(T_3|C_2) &= \frac 1 2 \\
P(T_2|C_3) = P(T_3|C_3) &= \frac 1 2
\end{split}
\end{split}\]
因此
(8)\[\begin{split}
\begin{split}
P(T_2C_1) = P(T_2|C_1) P(C_1) &= \frac 1 6 \\
P(T_3C_1) = P(T_3|C_1) P(C_1) &= \frac 1 6 \\
P(T_2C_2) = P(T_2|C_2) P(C_2) &= \frac 1 6 \\
P(T_3C_2) = P(T_3|C_2) P(C_2) &= \frac 1 6 \\
P(T_2C_3) = P(T_2|C_3) P(C_3) &= \frac 1 6 \\
P(T_3C_3) = P(T_3|C_3) P(C_3) &= \frac 1 6
\end{split}
\end{split}\]
同样先算：
(9)\[
P(N) = P(T_2C_1) + P(T_2C_3) + P(T_3C_1) + P(T_3C_2) = \frac 2 3
\]
在此事件已发生的前提下，另一个门有车的概率：
(10)\[
\frac {P(T_3C_2) + P(T_2C_3)} {P(N)} = \frac 1 2
\]
\(C_1\) 的概率是：
(11)\[
\frac {P(T_3C_1) + P(T_2C_1)} {P(N)} = \frac 1 2
\]
关于这个问题的两个误区：
一是认为主持人的选择不影响车的分布概率，这其实是主持人随便打开一个门的情况。在第一种情况下，主持人的选择行为虽然没有改变车的分布概率，但他选择哪个门与车的分布不是无关的，所以改变了车的分布的条件概率。从信息论的角度来看，主持人的选择无疑透露了一些信息，使得剩下的关于车的分布情况的信息量减少了。换个角度讲，前者的样本空间不包括“主持人打开的门后有车”这种情况，而后者则包括了。
二是认为主持人是故意还是随意不影响车的条件概率，既然“无车”这种事情发生了，则另一个门中有车的概率就定了。这种观点其实是没有清楚的理解概率的含义。在概率论里，“某时某刻某地主持人打开的门后无车”和“主持人打开的门后无车”显然不是同一个事件，前一个甚至不是事件。