3.2. 接电话的女孩

3.2.1. 问题

已知某户人家有两个孩子，某天打电话过去，发现接电话的是一个女孩，那么另一个孩子也是女孩的概率是多大？当然，这里假定男孩女孩出现的概率是相同的，且接电话的概率与孩子的性别没有关系。

3.2.2. 分析

给两个孩子编号为 \(1\), \(2\), 他们是男孩女孩的概率可分别记为 \(P(1_男)\), \(P(1_女)\), \(P(2_男)\), \(P(2_女)\), 于是有：

(1)\[ P(1_男) = P(1_女) = P(2_男) = P(2_女) = 1/2 \]

哪个孩子接电话也是随机的，可认为各有 \(\frac 1 2\) 的概率。当然，更一般化的假定是孩子 \(1\) 接电话的概率为 \(p\), 于是孩子 \(2\) 接电话的概率为 \(1 - p\), 分别设为 \(P(1_接)\), \(P(2_接)\), 也就是：

(2)\[\begin{split} \begin{split} P(1_接) &= p \\ P(2_接) &= 1 - p \end{split} \end{split}\]

接电话的是女孩的概率（记为 \(P(女_接)\)）为：

(3)\[\begin{split} \begin{split} P(女_接) &= P(1_接1_女) + P(2_接2_女) \\ &= P(1_接)P(1_女) + P(2_接)P(2_女) \\ &= {\frac 1 2}p + {\frac 1 2}(1 - p) \\ &= \frac 1 2 \end{split} \end{split}\]

而两个孩子都是女孩的概率为：

(4)\[ P(1_女2_女) = P(1_女)P(2_女) = \frac 1 4 \]

因此在已知接电话的孩子是女孩的情况下，另一个孩子也是女孩的概率为：

(5)\[\begin{split} \begin{split} P(1_女2_女|女_接) &= P(1_女2_女女_接)/P(女_接) \\ &= P(1_女2_女)/P(女_接) \\ &= \frac 1 2 \end{split} \end{split}\]

也就是说，已知一个孩子的性别，对另外一个孩子的性别提供的信息量为 \(0\), 这显然是符合常理的。

这里有一个常见误区：已知一个孩子性别为女，则孩子的性别组合只能是“男女”、“女男”、“女女”，这三种情况是等概率的，那么两个孩子都是女孩的概率岂不是 \(\frac 1 3\)? 问题在于：这三种情况下，女孩接电话的概率是不同的，“女女”的情况下，女孩接电话的概率最大。因此，已知是女孩接电话，当然“女女”这一组合的可能性比其他两种大。