3.3. 连接小棍

3.3.1. 问题

将八根小棍握在手中，随机的将上端两两相连，下端两两相连，最后必然成为一个圈、两个圈、三个圈或四个圈，问各种情况出现的概率。

3.3.2. 分析

排列数公式：

\[ P_n^m = \frac {n!} {(n-m)!} \]

组合数公式：

\[ C_n^m = \frac {n!} {m!(n-m)!} \]

将上端 \(8\) 个端点连接起来的方法数：

\[\begin{split} \begin{split} \frac {C_8^2C_6^2C_4^2C_2^2} {P_4^4} &= \frac {8!} {2! \cdot 6!} \cdot \frac {6!} {2! \cdot 4!} \cdot \frac {4!} {2! \cdot 2!} \cdot \frac {2!} {2! \cdot 0!} \cdot \frac 1 {4!} \\ &= \frac {8!} {2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!} \\[1em] &= 105 \end{split} \end{split}\]

因此所有的连法总共是 \(105 \times 105 = 11025\) 种。

下面来计算各种情况出现的可能性。当上端已经选定一种连法后，实际上就成了四对小棍，可以在此基础上进一步思考。

一个圈，将四对小棍进行循环全排列，每两对小棍之间有 \(2\) 种连法，因此总的连法为：

\[ 105 \cdot \frac {P_4^4} 4 \cdot 2^3 = 5040 \]

两个圈分两种情况，第一种每个圈由 \(4\) 个小棍组成；第二种每个圈分别由 \(6\) 个和 \(2\) 个小棍组成。

对于第一种，从四对小棍中选出两对相互连接，每选出一对都有 \(2\) 种方法，剩下的两对相互连接，也有 \(2\) 种方法，再排除掉重复情况，就是：

\[ \frac {105 \cdot C_4^2 \cdot 2 \cdot 2} {P_2^2} = 1260 \]

对于第二种，在上端已连好的情况下形成了四对小棍，从中选出三对相互连接，然后对这三对小棍进行循环全排列，于是有：

\[ 105 \cdot C_4^3 \cdot \frac {P_3^3} 3 \cdot 2^2 = 3360 \]

三个圈，从四对小棍中选出两对，其上下端连法必须一致，另外两对小棍必须相互连接，方法有 \(2\) 种，因此连法数为：

\[ 105 \cdot C_4^2 \cdot 2 = 1260 \]

四个圈，上下端的连法必须一致，在上端已连好的情况下，下端只有一种连法，因此是 \(105\) 种。

分别计算概率：

情形	概率
一个圈	\(\frac {5040} {11025} = 45.7\%\)
两个圈	\(\frac {1260 + 3360} {11025} = 41.9\%\)
三个圈	\(\frac {1260} {11025} = 11.4\%\)
四个圈	\(\frac {105} {11025} = 1.0\%\)