3.4. 酒鬼在哪里

3.4.1. 问题

已知一酒鬼每天外出喝酒的概率是 \(90\%\). 当他外出喝酒时以相等的概率光顾 \(A\), \(B\), \(C\) 三家酒吧。某日，警察在 \(A\), \(B\) 酒吧都没有找到酒鬼，那么在 \(C\) 酒吧找到酒鬼的概率是多少？

3.4.2. 分析

为叙述方便，分别用 \(P(A)\), \(P(B)\), \(P(C)\) 表示酒鬼在 \(A\), \(B\), \(C\) 酒吧喝酒的概率，用 \(P(H)\) 表示酒鬼在家没有外出喝酒的概率，而酒鬼不在某地的概率则分别用 \(P(\bar{A})\), \(P(\bar{B})\), \(P(\bar{C})\), \(P(\bar{H})\) 表示，按题意有：

(1)\[\begin{split} \begin{split} P(A) = P(B) = P(C) \\ P(\bar{H}) = 90\% \\ P(A) + P(B) + P(C) + P(H) = 100\% \end{split} \end{split}\]

很容易算出以下概率：

(2)\[\begin{split} \begin{split} P(A) = P(B) = P(C) = \frac {P(\bar{H})} 3 &= 30\% \\ P(H) = 1 - P(\bar{H}) &= 10\% \\ P(\bar{A}) = 1 - P(A) &= 70\% \\ P(\bar{B}) = 1 - P(B) &= 70\% \\ P(\bar{C}) = 1 - P(C) &= 70\% \end{split} \end{split}\]

在酒吧 \(A\), \(B\) 都没有找到酒鬼的概率是：

(3)\[ P(\bar{A}\bar{B}) = 1 - P(A) - P(B) = 40\% \]

注意 \(P(\bar{A}\bar{B})\) 并不等于 \(P(\bar{A})P(\bar{B})\), 因为酒鬼在不在酒吧 \(A\) 与在不在酒吧 \(B\) 并不是独立事件。如果来个完整的推导那就是：

(4)\[\begin{split} \begin{split} P(\bar{A}\bar{B}) &= P(\bar{A})P(\bar{B}/\bar{A}) \\ &= P(\bar{A})(1 - P(B|\bar{A})) \\ &= P(\bar{A})(1 - {\frac {P(B\bar{A})} {P(\bar{A})}}) \\ &= P(\bar{A}) - P(B)P(\bar{A}|B) \\ &= 1 - P(A) - P(B) \end{split} \end{split}\]

这种情况下，酒鬼在酒吧 \(C\) 的概率：

(5)\[\begin{split} \begin{split} P(C|\bar{A}\bar{B}) &= \frac {P(C\bar{A}\bar{B})} {P(\bar{A}\bar{B})} \\ &= \frac {P(C)} {P(\bar{A}\bar{B})} \\ &= \frac {30\%} {40\%} \\ &= 75\% \end{split} \end{split}\]

这里为什么 \(P(C\bar{A}\bar{B}) = P(C)\)? 因为 \(P(\bar{A}\bar{B}|C) = 1\).

常见的一个误区：既然酒鬼外出喝酒的概率是 \(90\%\), 现已排除了他在酒吧 \(A\) 和 \(B\), 那岂不是这 \(90\%\) 的概率全落在酒吧 \(C\) 上了？这里的问题是：在排除了酒鬼在酒吧 \(A\) 和 \(B\) 喝酒以后，他今天外出喝酒的概率还是 \(90\%\) 吗？